Экзамен по математике для программы МАЭ (2019)

Первая часть

1. Число \(\arcsin(\sin10)\) равно

A

\(10-2\pi\)

B

\(3\pi-10\)

C

\(10-4\pi\)

D

\(4\pi-10\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не существует

2. Кривая на плоскости \((x,y)\in\R^2\) определяется уравнением \(x^2y+2x-y^2=0\). Тогда

A

касательная к этой кривой горизонтальна в точке \((x,y)=(-1,1)\)

B

касательная к этой кривой горизонтальна в точке \((x,y)=(1,-1)\)

C

касательная к этой кривой вертикальна в точке \((x,y)=(1,-1)\)

D

касательная к этой кривой вертикальна в точке \((x,y)=(-1,1)\)

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

3. Функции \(f(x)\) и \(g(x)\) отображают отрезок \([0,1]\) в себя, причем функция \(f(g(x))\) непрерывна на \([0,1]\). Тогда

A

функция \(g(f(x))\) непрерывна на \([0,1]\)

B

если функция \(f(g(x))\) строго возрастает, то и функция \(g(f(x))\) строго возрастает

C

если функция \(g(x)\) непрерывна в каждой точке \([0,1]\), то и функция \(f(x)\) непрерывна на \([0,1]\)

D

функция \(g(f(x))\) достигает наибольшего и наименьшего значения

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

4. Предел \(\ds\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt[3]{(x+a_1)(x+a_2)(x+a_3)}-x\bigr)\) равен

A

\(\dfrac{a_1+a_2+a_3}3\)

B

\(\dfrac{a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1}3\)

C

\(0\)

D

\(3\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, либо не существует

5. Функция \(z(x,y)=\cos^2x+\cos^2y\) на множестве \(\{(x,y)\colon x-y=\pi/4\}\)

A

достигает наибольшего значения, равного \(1+1\big/\sqrt{2}\)

B

достигает наименьшего значения, равного \(1-\sqrt{3}\big/2\)

C

не достигает наибольшего значения

D

не достигает наименьшего значения

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

6. Функция \(y(x)\) задана как неявная функция равенством \(y^2+2xy-x^2=2y\) в окрестности точки \((x_0,y_0)\). Тогда

A

если \((x_0,y_0)=(0,0)\), то точка \(x=0\) является точкой локального минимума функции \(y(x)\)

B

если \((x_0,y_0)=(1,1)\), то точка \(x=1\) является точкой локального максимума функции \(y(x)\)

C

если \((x_0,y_0)=(0,0)\), то точка \(x=0\) не является точкой локального экстремума функции \(y(x)\)

D

если \((x_0,y_0)=(1,1)\), то точка \(x=1\) не является точкой локального экстремума функции \(y(x)\)

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

7. Пусть \(y(x)\) — максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши для дифференциального уравнения \[ \dfrac{dy}{dx}=y-e^x \] c начальным условием \(y(0)=1\). Тогда \(y(1)\) равно

A

\(0\)

B

\(1\)

C

\(e\)

D

\(-1/e\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не определено

8. Пусть \[f(x)=\int_{-x}^xe^{-(x^2+t^2)/2}dt\] и \(f'(x)\) — производная функции \(f(x)\). Тогда значение производной \(f'(0)\) равно

A

\(0\)

B

\(-1\)

C

\(1\)

D

\(2\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не определено

9. Предел \(\lim_{x\to+\infty}\left(x\ln\left(x+e^x\right)-x^2\right)\) равен

A

\(0\)

B

\(1/e\)

C

\(1/2\)

D

\(\ln 2\)

E

числу, отличному от A, B, C, D, или не существует

10. Выберите истинное утверждение (все множества суть подмножества числовой прямой):

A

любое множество имеет точную верхнюю грань, причем единственную

B

пересечение конечного количества множеств, каждое из которых является либо открытым, либо замкнутым, также является либо открытым, либо замкнутым

C

объединение конечного количества множеств, каждое из которых является либо открытым, либо замкнутым, также является либо открытым, либо замкнутым

D

объединение непустых непересекающихся множеств не может быть компактным

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

11. Пусть \(f_n(x)=(x+2)\arctg(x^n)\). Обозначим через \(M\) множество тех \(x\), для которых последовательность \(\{f_n(x),n=1,2,...\}\) сходится, и для \(x\in M\) обозначим \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\). Тогда

A

множество \(M\) открыто

B

функция \(f(x)\) является строго возрастающей

C

уравнение \(f(x)=c\) не имеет решений при \(0<c<3\)

D

график функции \(y=f(x)\) имеет асимптоту

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

12. Последовательность вещественных чисел \(x_1,x_2,\ldots\) такова, что при всех \(n=1,2,\ldots\) выполняются неравенства \(x_{n+1}\ne x_n\) и \[ \dfrac{|x_{n+2}-x_{n+1}|}{|x_{n+1}-x_{n}|}\le\dfrac12. \] Найдите ложное утверждение:

A

последовательность \(\{x_n\}\) сходится

B

ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n\) сходится

C

последовательность \(\{|x_{n+1}-x_n|\}\) сходится

D

ряд \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_{n+1}-x_n|\) сходится

E

среди утверждений A, B, C, D есть ложное

13. Задана функция \(f(x,y)=x-y\) и множество \(M=\{(x,y)\colon 2x^2-3xy+2y^2=1\}\). Выберите ложное утверждение

A

функция \(f(x,y)\) на множестве \(M\) достигает наибольшего и наименьшего значения

B

наименьшее значение функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\) равно \(-1\big/\sqrt{7}\)

C

точка \((x,y)=\bigl(1\big/\sqrt{7}, -1\big/\sqrt{7}\bigr)\) является точкой глобального максимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

D

точка \((x,y)=(1,1)\) не является точкой глобального минимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

E

среди утверждений A, B, C, D есть ложное

14. Функция \(y(x)\) является максимальным (непродолжаемым) решением задачи Коши \(y'=y^3\), \(y(0)=1\). Тогда значение \(y(3/8)\) равно

A

\(1/2\)

B

\(1/4\)

C

\(\arctg \sqrt{\pi}\)

D

\(2\)

E

другому числу или не существует

15. Максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши \(y'=\dfrac{y}{x^2+1}\), \(y(1)=-1\) на своей области определения

A

не имеет нулей

B

имеет ровно один ноль

C

имеет ровно два нуля

D

имеет ровно три нуля

E

имеет более трех нулей

16. Пусть \(\{x_n,n=1,2,...\}\), \(\{y_n,n=1,2,...\}\) — последовательности с положительными членами, первая последовательность сходится, вторая — расходится. Тогда

A

последовательность \(\{x_{n+1}/x_n,n=1,2,...\}\) сходится

B

последовательность \(\{\sqrt[n]{x_n},n=1,2,...\}\) сходится

C

последовательность \(\{x_n\cdot y_n,n=1,2,...\}\) расходится

D

последовательность \(\{y_n^{x_n},n=1,2,...\}\) расходится

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

17. Пусть \(A\) и \(B\) — подмножества числовой прямой \(\R\), множество \(A\) открыто, множество \(B\) замкнуто. Тогда

A

множество \(A\cap B\) не является открытым

B

множество \(A\cup B\) замкнуто

C

множество \(A\setminus B\) открыто

D

множество \(B\setminus A\) не является замкнутым

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

18. Пусть \(M\) — подмножество числовой прямой \(\R\). Тогда

A

если множество \(M\) ограничено и каждая его точка является граничной, то оно содержит изолированные точки

B

если множество \(M\) ограничено и каждая его точка является предельной, то оно замкнуто

C

если множество \(M\) не ограничено и имеет предельные точки, то оно замкнуто

D

если множество \(M\) бесконечно, ограничено и не имеет предельных точек, то оно открыто

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

19. Задана функция \(f(x,y)=e^{x+y}\) и множество \(M=\{(x,y)\colon x+y^2=0\}\). Тогда

A

функция \(f(x,y)\) не ограничена на множестве \(M\)

B

функция \(f(x,y)\) достигает на множестве \(M\) наименьшего значения

C

для любой точки \((x,y)\in M\) выполнено неравенство \(f(x,y)\le7/5\)

D

точка \((0,0)\) является точкой локального минимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

20. Наименьшее значение функции \(f(x,y)=x^2+y^2+6xy-14x-10y+10\) равно

A

\(-6\)

B

\(-17\)

C

\(-20\)

D

\(-23\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не существует

21. Задан функциональный ряд \[ \sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt n}\left(\frac x{x+1}\right)^n. \] Пусть \(M\) — множество точек на числовой прямой, в которых ряд сходится. Для \(x\in M\) обозначим через \(S(x)\) сумму этого ряда. Тогда

A

множество \(M\) ограничено

B

множество \(M\) открыто

C

\(S(x)>0\) для любого \(x\in M\)

D

на отрезке \([0,1]\) ряд сходится равномерно

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

22. Задана функция \[ f(x)=\int_{x+1}^{x^2}e^{-t^2}dt,\ x\in\R. \] Тогда

A

функция \(f(x)\) достигает на \(\R\) наибольшего значения

B

функция \(f(x)\) достигает на \(\R\) наименьшего значения

C

\(f(x)>0\) при любом \(x\in\R\)

D

при любом \(c\) уравнение \(f(x)=c\) имеет не более одного решения

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

23. Пусть \(x_1>0\) и \(x_{n+1}=\dfrac12\left(x_n+\dfrac1{x_n}\right)\), \(n=1,2,...\). Тогда

A

если \(x_1<1/2\), то последовательность \(\{x_n\}\) расходится

B

если \(x_1>10\), то последовательность \(\{x_n\}\) возрастающая

C

существует такое число \(x_1>0\), что последовательность \(\{x_n\}\) неограниченная

D

существует такое число \(x_1>0\), что последовательность \(\{x_n\}\) сходится

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

24. Пусть \(x_n=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot...c\cdot\dfrac{2n-1}{2n}\), \(n=1,2,...\). Тогда предел \(\lim_{n\to\infty}x_n\) равен

A

\(0\)

B

\(1/e\)

C

\(1/e^2\)

D

\(1/e^4\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не существует

25. Пусть \(X=\{x_1,...,x_m\}\), \(Y=\{y_1,...,y_n\}\) — системы векторов из \(\R^N\), где \(N\ge2\), \(m,n\ge1\). Известно, что система \(X\) линейно зависимая. Тогда

A

если каждый вектор системы \(X\) линейно выражается через векторы системы \(Y\) и \(n\le m\), то система \(Y\) линейно зависимая

B

если каждый вектор системы \(X\) линейно выражается через векторы системы \(Y\) и \(n\ge m\), то система \(Y\) линейно зависимая

C

если каждый вектор системы \(Y\) линейно выражается через векторы системы \(X\) и \(n\le m\), то система \(Y\) линейно зависимая

D

если каждый вектор системы \(Y\) линейно выражается через векторы системы \(X\) и \(n\ge m\), то система \(Y\) линейно зависимая

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

26. Квадратная матрица \(A\) порядка \(n\ge3\) трактуется как линейный оператор в \(\R^n\). Тогда

A

если \(A\) задает оператор проектирования, то у \(A\) бесконечно много инвариантных подпространств

B

если \(A\) диагонализируемая, то у \(A\) бесконечно много инвариантных подпространств

C

если \(A\) не диагонализируемая, то у \(A\) бесконечно много инвариантных подпространств

D

если \(A\) ортогональная, то у \(A\) бесконечно много инвариантных подпространств

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

27. Задана матрица \[ A=\m{\alpha&0&\alpha\\0&\alpha&0\\\alpha&0&1}, \] где \(\alpha\) — вещественный параметр. Тогда

A

если \(A\) положительно определена, то \(A\) отрицательно определена

B

если \(A\) отрицательно определена, то \(A\) положительно определена

C

если \(\alpha>0\), то \(A\) положительно определена

D

если \(\alpha<0\), то \(A\) отрицательно определена

E

все четыре утверждения A, B, C, D ложные

28. Заданы матрица \(A=\m{\alpha&0&1\\0&\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha&1+\alpha}\) и столбец \(b=\m{1\\0\\1}\), где \(\alpha\) — вещественный параметр. Найдите ложное утверждение

A

при всех \(\alpha\) система \(Ax=b\) имеет решение

B

существует \(\alpha\), при котором система \(Ax=b\) имеет единственное решение

C

существует \(\alpha\), при котором множество решений системы \(Ax=b\) одномерное

D

существует \(\alpha\), при котором множество решений системы \(Ax=b\) двумерное

E

среди утверждений A, B, C, D есть ложное

29. Пусть \(L_1\) и \(L_2\) — подпространства в \(\R^n\), \(n\ge2\), такие что \(L_1\subset L_2\). Матрицы \(P\) и \(Q\) задают операторы ортогонального проектирования на \(L_1\) и \(L_2\) соответственно. Найдите ложное утверждение

A

\(QP\) задает оператор ортогонального проектирования

B

\(PQ\) задает оператор ортогонального проектирования

C

\(Q-P\) задает оператор ортогонального проектирования

D

\(P-Q\) задает оператор ортогонального проектирования

E

среди утверждений A, B, C, D есть ложное

30. Неопределенный интеграл \(\ds\int\cos^3 x dx\) равен

A

\(\sin x-\dfrac13\sin^3 x\)

B

\(\dfrac14\sin^4 x\)

C

\(\cos x-\dfrac13\cos^3 x\)

D

\(\dfrac14\cos^4 x\)

E

\(\dfrac{\cos^4 x}{4\sin x}\)

31. Неопределенный интеграл \(\ds\int x\sin x dx\) равен

A

\(\dfrac12x^2\sin x+C\)

B

\(-x\cos x+C\)

C

\(\dfrac12x^2\cos x+C\)

D

\((1-x)\cos x+C\)

E

\(\sin x-x\cos x+C\)

32. Определенный интеграл \(\ds\int_0^1\dfrac{dx}{1+e^x}\) равен

A

\(\ln\dfrac{e}{1+e}\)

B

\(\ln\dfrac{2e}{1+e}\)

C

\(\ln\dfrac{2e}{e-1}\)

D

\(\ln\dfrac{1+e}{e}\)

E

числу, отличному от перечисленных в A, B, C, D, или не существует

Вторая часть

1. Задана функция \(f(x,y)=6x^2+12xy+y^2\) и множество \(M=\{(x,y)\colon x^2+y^2=1\}\). Тогда

а)

функция \(f(x,y)\) достигает на множестве \(M\) наибольшего и наименьшего значений

б)

точка \((1,0)\) является точкой локального максимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

в)

число локальных минимумов функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\) чётное

г)

точка \(\left({-}\dfrac{2}{\sqrt5},\dfrac{1}{\sqrt5}\right)\) является точкой локального минимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

д)

в точке \(\left({-}\dfrac{3}{\sqrt{13}},{-}\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)\) функция \(f(x,y)\) достигает наибольшего значения на множестве \(M\)

е)

точка\(\left({-}\dfrac{2}{\sqrt{13}},\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)\) является точкой локального минимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\)

ж)

существует такая точка \((x_1,y_1)\in M\), что \(f(x_1,y_1)=6\)

з)

существует такая точка \((x_2,y_2)\in M\), что \(f(x_2,y_2)=2\)

2. Пусть \(A\) — квадратная матрица порядка \(n\ge2\). Известно, что \(\Ker A^{n-1}\ne\Ker A^n\), где через \(\Ker X\) обозначается ядро матрицы \(X\). Через \(\Im X\) обозначим образ матрицы \(X\). Тогда

а)

матрица \(A\) невырожденная

б)

матрица \(A\) нильпотентная, т. е. \(A^m=0\) для некоторого \(m\)

в)

ранг матрицы \(A\) не больше чем \(n-2\)

г)

ранг матрицы \(A\) не меньше чем \(n-1\)

д)

\(\Ker A^{m-1}\ne\Ker A^m\) при всех \(1<m\le n\)

е)

сумма \(\Ker A+\Im A=\R^n\)

ж)

если \(A^{n-1}x\ne0\), то векторы \(x\), \(Ax\), \(A^2x\), ..., \(A^{n-1}x\) образуют базис в \(\R^n\)

з)

матрица \(A\) имеет бесконечно много инвариантных подпространств

3. Пусть \[ f_n(x)=\frac{\sin n(x+n)}{n(1+x)^2}. \] Обозначим через \(M\) множество точек \(x\in\R\), для которых последовательность \(f_n(x)\) сходится, и пусть \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x),\ x\in M. \] Пусть \(g_n(x)=f'_n(x)\). Тогда:

а)

множество \(M\) замкнуто

б)

множество \(M\) открыто

в)

для любого \(n\) существует предел \(\lim_{x\to+\infty}f_n(x)\)

г)

существует точка \(x\in M\), в которой функция \(f(x)\) имеет разрыв первого рода

д)

существует точка \(x\in M\), в которой функция \(f(x)\) дифференцируема

е)

последовательность \(f_n(x)\) сходится к \(f(x)\) равномерно на \(M\)

ж)

последовательность \(g_n(x)\) сходится в каждой точке \(x\in M\)

з)

для любого \(n\) существует предел \(\lim_{x\to+\infty}g_n(x)\)

4. Пусть \(y(x)\) — максимальное (непродолжаемое) решение задачи Коши для дифференциального уравнения \[ \dfrac{dy}{dx} = e^{-x}\bigl(y-e^{-e^{-x}}\bigr) \] c начальным условием \(y(0)=a\), где \(a\in\R\) — параметр. Пусть множество \(M\subset\R\) — область определения функции \(y(x)\), \(\bar y=\sup\limits_{x\in M}y(x)\). Тогда

а)

множество \(M\) ограничено

б)

функция \(y(x)\) ограничена на \(M\)

в)

функция \(y(x)\) немонотонна на \(M\)

г)

функция \(y(x)\) равномерно непрерывна на \(M\)

д)

\(\bar y=1/e\) при \(a=1/e\)

е)

\(\bar y=e\) при \(a=3/e\)

ж)

график функции \(y(x)\) имеет не менее одной точки перегиба

з)

если \(\bar x\) — точка локального максимума функции \(y(x)\), то в точке \(\bar x\) достигается наибольшее значение функции \(y(x)\) при \(x\in M\)