\( \def\ds{\displaystyle} \def\R{{\boldsymbol{R}}} \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\P{\operatorname{P}} \def\E{\operatorname{E}} \def\Var{\operatorname{Var}} \def\cov{\operatorname{Cov}} \def\Ker{\operatorname{Ker}} \def\Im{\operatorname{Im}} \def\tg{\operatorname{tg}} \def\ctg{\operatorname{ctg}} \def\arctg{\operatorname{arctg}} \def\ge{\geqslant} \def\le{\leqslant} \def\lim{\operatorname*{lim}\limits} \)

Экзамен по математике для программы МАЭ (2020)

Первая часть

Выберите мышкой тот единственный ответ (из A, B, C, D, E), который вы считаете правильным. Каждый правильный ответ оценивается в одно очко. Неправильный — в минус четверть очка. Отсутствие ответа — ноль очков.

1. Предел \(\lim_{x\to0}(2^x-1)\ctg x\) равен

2. Предел \(\lim_{n\to\infty}n(\ln(n+1)-\ln n)\) равен

3. Определенный интеграл \(\ds\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\tg x dx\) равен

4. Неопределенный интеграл \(\ds\int\dfrac{x^5dx}{x+1}\) равен

5. Пусть \(A\) и \(B\) — две вещественные прямоугольные матрицы, имеющие размеры, соответственно, \(m\times n\) и \(n\times s\). Положим \(C=AB\). Тогда

6. Пусть \(A\) — вещественная симметричная матрица порядка \(n\ge6\). Тогда

7. Пусть \(A\) — симметричная ортогональная матрица порядка \(n\ge6\). Тогда

8. Квадратичная форма задана формулой \(f(x)=x^TAx\), где \(x\in\R^n\), \(A\) — вещественная квадратная матрица порядка \(n\). Тогда

9. Пусть \(A\) — счетное подмножество \(\R\). Тогда

10. Предел \(\lim_{x\to+\infty}y(x)\), где \(y\) — максимальное решение задачи Коши \(y'=y^2e^{-x}\), \(y(0)=1/2\), равен

11. Последовательность \(\{a_n\}_{n=1}^\infty\) сходится. Тогда

12. Максимальное решение задачи Коши \(y'=y/x+x\), \(y(1)=1\), равно

13. Пусть \(f(x)\) ограниченная функция на отрезке \([a,b]\). Тогда

14. Пусть \(M\) — счетное подмножество \(\R\). Тогда

15. Дано уравнение (относительно \(x\)) \(x^3-2x=a\). Какие из следующих утверждений (I, II, III) истинны?

  1. Существует отрезок \([c,d]\) (\(c<d\)), такой что при любом \(a\in[c,d]\) урвнение имеет ровно три решения.
  2. Существует отрезок \([c,d]\) (\(c<d\)), такой что при любом \(a\in[c,d]\) урвнение имеет ровно два решения.
  3. Существует отрезок \([c,d]\) (\(c<d\)), такой что при любом \(a\in[c,d]\) урвнение имеет ровно одно решение.

16. Пусть \(a>0\) и \(x\ne0\) — некоторые числа. Последовательность \(\{y_n, n=1,2,...c\}\) задается равенствами \(y_1=a\), \(y_n=\sqrt{x^2+y_{n-1}}\), \(n\ge2\). Тогда

17. Дана функция двух переменных \(f(x,y)=x^2+y^2\) и множество \(M=\{(x,y)\colon 2|x|+|y|=2\}\). Какие из следующих утверждений (I, II, III) истинны?

  1. Точка \((-4/5,2/5)\) является точкой локального минимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\).
  2. Точка \((-1,0)\) является точкой локального максимума функции \(f(x,y)\) на множестве \(M\).
  3. В точке \((0,2)\) функция \(f(x,y)\) достигает наибольшего значения на множестве \(M\).

18. Точка \(A\) движется по оси \(Ox\) плоскости \(xOy\) по закону \(x(t)=t^2-2t+2\), а точка \(B\) движется по оси \(Oy\) той же плоскости по закону \(y(t)=1/2+2t-t^2\), где \(t\ge0\) — время. В какой момент времени расстояние между точками \(A\) и \(B\) наименьшее?

19. Дана функциональная последовательность \(\{f_n(x)=ne^{-n|x|}, n=1,2,...c\}\). Обозначим через \(M\) множество таких \(x\in\R\), что существует предел \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\), и пусть \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) на \(M\). Тогда

20. Дан ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln(x+y))^n}{n^2}. \] Обозначим через \(M\) множество точек плоскости \(\R^2\), в которых ряд сходится. Тогда

Вторая часть

Выберите мышкой ответ (из Да, Нет), который вы считаете правильным. Каждый правильный ответ оценивается в одно очко. Неправильный — в минус одно очко. Отсутствие ответа — ноль очков.

1. Функция \(f(x)\) задана следующим образом: \[ f(x)= \begin{cases} \ds -3\sum_{n=0}^{\infty}x^{-n},&\text{если \(x\le-1\).}\\ \ds 3-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{-n},&\text{если \(-1< x\le1\),}\\ \ds \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!},&\text{если \(x>1\),} \end{cases} \] Обозначим через \(M\) множество, на котором определена функция \(f(x)\) (соответствующий ряд сходится). Тогда

2. Дана функция \(f(x,y,z)=xyz\) и множество \(M=\left\{(x,y,z)\colon x^2+y^2+(z-3)^2=9\right\}\). Тогда

3. Прямоугольные матрицы \(A\) и \(B\) имеют размеры \(m\times 2m\) и \(2m\times m\), соответственно, где \(m\ge2\). Известно, что каждая из матриц \(A\) и \(B\) имеет ранг \(m\), а их произведение \(AB=0\) — нулевая матрица порядка \(m\). Тогда (индекс \(T\) обозначает транспонирование)