\( \def\ds{\displaystyle} \def\R{{\boldsymbol{R}}} \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \def\P{\operatorname{P}} \def\E{\operatorname{E}} \def\Var{\operatorname{Var}} \def\cov{\operatorname{Cov}} \def\Ker{\operatorname{Ker}} \def\Im{\operatorname{Im}} \def\tg{\operatorname{tg}} \def\ctg{\operatorname{ctg}} \def\arctg{\operatorname{arctg}} \def\ge{\geqslant} \def\le{\leqslant} \def\lim{\operatorname*{lim}\limits} \)

Экзамен по математике для прикладных программ (2020)

Выберите мышкой тот единственный ответ (из A, B, C, D, E), который вы считаете правильным. Каждый правильный ответ оценивается в одно очко. Неправильный ответ или отсутствие ответа — ноль очков.

1. Ранг матрицы \(\m{3&1&5&3\\2&3&1&-1\\5&4&6&2}\) равен

2. Определитель матрицы \(\m{1&0&0\\1&1&2\\1&1&3}\) равен

3. Функция \(f(x)=x^3-2x^2+x\) на отрезке \([0,1]\)

4. Платежи \(X\) и \(Y\) по двум независимым облигациям распределены равномерно на отрезке \([0,1]\). Тогда вероятность \(\P\{X+Y>1.5\}\) равна

5. Определенный интеграл \(\ds\int_{-3}^3|x+1|dx\) равен

6. Определенный интеграл \(\ds\int_0^\pi\sin xdx\) равен

7. Неопределенный интеграл \(\ds\int\ln xdx\) равен

8. Предел \(\lim_{x\to1}\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac2{x^2-1}\right)\) равен

9. Пусть \(f(x)=e^{-x}+e^{x}\) при \(x\in\R\). Какие из следующих утверждений (I, II, III) являются истинными?

  1. Функция \(f(x)\) выпукла на \(\R\).
  2. Функция \(f(x)\) нечетна на \(\R\).
  3. Функция \(f(x)\) дифференцируема на \(\R\).

10. Касательная к кривой \(y=x+e^x\) в точке \(x=0\) есть

11. Пусть \(f(x)\) — непрерывная на отрезке \([{-}2,3]\) функция. Найдите ложное утверждение:

12. Сколько решений имеет уравнение \(2x^5+8x-7=0\)?

13. Квадратичная форма \(f(x)=x^TAx\) в \(\R^3\) задана матрицей \( A=\m{1&1&0\\ 1&2&1\\ 0&1&1} \). Тогда

14. Цена акции в конце каждого года независимо от прошлого увеличивается на \(5\)% с вероятностью \(2/3\) и уменьшается на \(5\)% с вероятностью \(1/3\). Какова вероятность того, что через \(2\) года кумулятивная доходность акции будет выше \(5\)%?

15. Предел \(\lim_{x\to1}\dfrac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}\) равен

16. Предел \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5 x}{x}\) равен

17. Предел \(\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n-1}\right)^n\) равен

18. Про две случайные величины \(X\) и \(Y\) известно, что их ковариация \(\cov(X,Y)<0\). Обозначим через \(\Var Z\) дисперсию случайной величины \(Z\). Тогда

19. Даны две компании. Вероятность дефолта первой из них равна \(0.3\), а вероятность дефолта обеих компаний одновременно равна \(0.1\). Чему равна условная вероятность дефолта второй компании в случае дефолта первой?

20. Вы купили акцию предприятия, которое может оказаться «хорошим» или «плохим». Акция «хорошего» предприятия с вероятностью \(1\) через год вырастет в цене. Акция «плохого» предприятия через год с вероятностью \(1/4\) вырастет, а с вероятностью \(3/4\) упадет в цене. Через год цена купленной акции выросла. Какова вероятность того, что это акция «хорошего» предприятия?

21. У матрицы \[ \m{1&2&3\\4&5&6\\7&8&9} \]

22. Размерность подпространства решений однородной системы линейных уравнений, заданной матрицей \[ \m{1&0&-1\\0&1&-1\\-2&1&1} \] равна

23. Размерность линейной оболочки системы векторов \[ \left\{\m{1\\1\\0}, \m{2\\1\\1}, \m{1\\0\\1}, \m{0\\1\\-1}\right\} \] равна

24. Даны квадратные матрицы \(A\) и \(B\) порядка \(n\ge2\). Через \(\det X\) обозначим определитель матрицы \(X\). Тогда

25. Пусть \(A\) — квадратная матрица порядка \(n\ge2\), для которой выполнено равенство \(A^2+2A=0\). Тогда